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海涅:反省是一面镜子,客观存在能将我们的错误清清楚楚地照出来,使我们有改正。

 
 
 

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引用 转载:丘成桐院士演讲  我研究数学的经验  

2010-04-21 17:32:05|  分类: 教育素材 |  标签: |举报 |字号 订阅

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引用

中天健转载:丘成桐院士演讲  我研究数学的经验

 时间: 1997年6月19日

地点: 新竹交通大学应用数学系整理人: 许正雄、林松山

主持人林松山致辞:

今天我们非常高兴能够请到丘成桐院士来演讲, 不是讲深奥的数学而是讲怎么去做深奥的数学, 好的数学。这讲题是「我研究数学的经验」, 是丘院士研究数学的经验, 我们欢迎丘院士。

 

今天林松山教授叫我讲关于应用数学的问题, 我想了一想, 讲作学问的经验也好。因为我来台湾也差不多五年了, 我想国内很多研究人员做研究的方法并不见得是最好的,但是派出去的很多年轻人在国外却十分出色,为什么呢? 这是很值得思考的。所以, 我想讲讲我自己的经验, 让大家参考一下。我想首要的当然是要有热忱, 我们在整个做学问的路上要披荆斩棘, 假如没有热忱的话, 就没有办法成就一个大学问。前几天看我父亲的遗作, 其中有屈原: 路曼曼其修远兮,吾将上下而求索。做学问的路很长很远, 我们要上下求索, 尽量去求真和美, 能否坚持下去是成功的一个重要因素。

举个例子, 在一些有名的研究所,竞争很厉害, 尤其在物理或者其它实验科学方面的研究, 真是分秒必争; 一个题目刚开始成熟,大家知道其它人也会做这个问题, 很多博士后或教授往往聚在一起工作到深夜, 甚至整34 数学传播22卷3期民87年9月个晚上不睡觉。这里当然有竞争的因素,希望达到一个目标, 比人家快一点; 可是另一方面也是因为求真的热忱很大, 激励着我们, 不肯放松。否则的话, 很多有终身职的教授, 没有必要这样拼命, 可是很多人还是愿意这样干,热忱是很重要的推动力量。

我们要晓得, 作研究的路是很远的, 一定要在低潮时还能坚持下去。很多人觉得若不在一流的学术中心, 就不能做深奥的研究。有些人到了最好的地方, 却不敢去碰重要的题目。这有很多不同的原因, 等一下我们再慢慢谈, 其中最要紧的我想是基本的功夫没有做好。

我们所做的命题, 最后的时候可能留下很简单漂亮的结果, 但是中间往往要花大量的计算我们才晓得这结果是怎么得到的。做好的研究不是一朝一夕得来的, 往往做了一百次, 九十九次是错的, 最后一次才成功。但成功以后, 作者只跟你讲成功的结果, 不会跟你讲九十九次失败的经验。错误的经验往往是很好笑的, 我们经常犯很明显的错误, 快做完的时候才知道。可是发表结果的时候很少会提起错误的那部份, 其实犯错误的结果会让你眼睛明亮, 帮助你看清楚前面的路。能够做不对的结果,已经是很不错了, 因为很多初学的人连怎么开始做这个题目都搞不清楚。譬如来讲; 你给我一个化学上的问题, 我连从什么地方着手都不知道, 因为我没有做化学的基本功夫, 我根本不晓得要从什么地方开始。

一个好的数学家至少要能够掌握两门以上的基本功夫。基本功夫不是一朝一夕学来的。譬如讲; 有代数的、有分析的、有几何的等种种不同的方法, 我们在中学的时候就开始学。有些人喜欢几何, 觉得代数没有什么意思不想学, 或者是学代数的人不想学几何, 各种想法都有, 可是最后我们发现真的做研究时全部工具都要用上。

有人说我只做一个特殊的题目就永远只去做这方面的研究, 结果连这方面的问题也不见得做得好。因为数学的发展不断地在改变。自然界提供给我们的问题, 不会因为你是几何学家就单纯地只提供几何方面的问题,几何与其它领域的学问往往结合在一起。到了做题目的时候, 要用到其它工具, 没有办法去了解, 就比其它人吃亏了。

例如, 数学中很重要的一门「群表示论」,很多地方不教这门课, 可是在应用科学或者理论科学要用到,「群表示论」在物理也要用到。有些好的数学家可以很技巧地运用「群表示论」分析很多问题。我们可能没有这些技巧, 是因为我们基本功夫没有做好的缘故。「群表示论」大概是进了研究院或者大学后半期的时候学的。中国数学家在这方面的训练不够, 因此不如国外学者, 可见有些基本学科一定要学好, 同时要很早就学。

我们做数学的不单要学数学的基本功夫, 物理上的基本功夫也要学, 同时在大学时就要学。对力学、电磁学我们都要有某种程度的了解, 因为物理跟数学这十多年来的发展越来越接近, 很多问题是物理学提供的。假如对这些基本观念完全不懂得的话, 我们看到这些题目时就比不上其它懂得这方面的数学家, 他们能够很快的融会贯通。在这个年代, 很多数学问题往往是从其它的学问如理论物理、应用数学或其它的科学里来的, 这些学科甚至提供灵感和方法。我们想了很久的一些问题, 往往因此得到解决, 假使我们从来都不接触其它科学的话, 就完全落伍了。举个例子来讲, 代数几何学家这二十多年来已有长远的发展。可是这几年来, 有一些困难的问题用古典的方法或者纤维丛的方法都没有办法解决, 结果理论物理学家帮助他们看到解决这些问题的可能路线。由于本身知识的局限, 很多代数几何学家没有办法去接受这些专家的看法。可是物理学家毕竟提供了解决这些问题的方向, 他们又觉得很难为情, 因为他们没有办法去了解这种新的方法, 所以这是一个很困扰的问题。假使你不肯学物理学上的基本功夫, 你就很难接受这个新的挑战。记得我看过一本书, 序言里面讲作者很感谢代数学家Albert, 为什么呢? 他说, Albert教我代数, 使我面对代数问题的时候不会恐慌, 能够坐下来好好的对付它。基本功夫的成熟在于看问题时, 可不可以坐下来就能够想办法来对付它。我们往往看到问题时一下子就慌得不晓得怎么办, 因此就放弃了好的题目, 我想大家都有这个经验。往往因为基本功夫没练好, 当一个深入的题目或理论出现的时候, 我们就拒绝去接受, 甚至认为这些题目不重要, 这是去解释自己为什么不能够去做某一个问题时最容易的方法, 结果当然是一无所得了。

训练基本功夫一定要早, 甚至中学时代开始。基本功夫怎样学好呢? 看书当然很重要, 但是看书看完了就放在一边, 看了两、三本书后就以为懂了, 这是不够的, 其实最重要的是去做习题, 因为只有在做习题时你才能晓得什么命题你不懂, 也理解到前人遇到的困难在那里。习题不单在课本里找, 在上课和听讨论班时也可以找。我们很多学生上课的时候不愿意去写笔记, 不做笔记的话根本不可能去念任何学科。因为一般来说演讲的题目是根本不在书本里的, 或者是还没有发表的。我常觉得很奇怪, 为什么学生不去作笔记, 他认为他懂了, 其实明明不懂。因为可能连讲课的人自己都还没搞懂, 可是听讲的人不愿意去作笔记, 不去跟演讲者交谈, 也不去跟其它老师讨论。往往听完以后就全部忘掉了。没有笔记可供参考, 怎么可能不忘掉呢?另一个训练基本功的方法就是要找出自己最不行的地方在那里。我们看「群表示论」的时候, 有一大套理论。单看理论是不够的, 在应用时往往要知道群表示是怎么分解, 你不能够将它分解清楚, 则理论对你一点好处都没有。又例如一个方程式的估值问题, 能不能了解其中的方法, 就全靠实际计算经验, 不是光念一两本书就足够的。举例来说, 我的儿子最近刚学因式分解, 老师教他一大堆怎么分解整数方程的问题。他学了, 也学得很好, 同时也学了找根的方法。可是有一次考试时他不知道怎么做因式分解, 我跟他说, 你明明晓得怎么找根, 为什么不能够做因式分解? 原来他学的时候没有想到找根跟因式分解是同一件事情。所以在训练基本功夫的时候, 要去想清楚数学命题间的关系, 了解清楚为什么要解这些命题。

我们去看很多人写前人的事, 写了很多很漂亮的介绍和深入的批评。可是你自己没有经历过这一条路的话, 事实上很难了解困难在什么地方, 为什么人家会这样子想。要得到这个经验, 不单要做习题, 还要做比较困难的习题。

做困难的习题有什么好处呢? 困难的习题往往是几个比较基本的问题的组合。我自己看书的时候, 常常会一下子就看完了一本书, 觉得很高兴, 因为看完了; 可是重新再看, 反而什么都不懂。我想大家都会有这个经验, 主要的原因是什么呢? 我们没有学好这个学科, 做比较困难的题目的时候, 你就发觉会遇到困难。尤其是我们做书中习题的时候,往往觉得似是而非, 在脑子里面想, 以为已经懂了、可以解决了、就一厢情愿地以为解决了, 这样就很快地看完那一本书, 事实上这是欺骗自己, 也不是训练基本功夫的方法。一个好的题目, 你应当坐下来用笔写下来, 一步一步地想, 结果你会发现很多基本的步骤你根本没有弄清楚。当你弄清楚的时候, 你去看你以前需要的定理在那里、怎么证的、我想你会慢慢了解整个学问的精义在那里。

所以说, 动笔去做习题是很重要的, 我们做大学生的时候还愿意做这个事, 往往做研究生的时候, 自以为了不起, 毕业以后更不用讲, 以为自己都懂了, 事实上似是而非。所以我们一定要动手去做, 当你在一门课里面,基本功夫搞得很清楚同时开始动笔计算以后,你就发现书里面很多是错的。在能发现书本里的错误时, 你的基本功夫也不错了。有课外书往往可以帮忙纠正书本的错误, 我们这个时代的学生不看课外书, 连本身的教科书也不看, 很使人失望。做研究时, 自己要去找自己的思路。我做大学生第一年的什候, 开始将数学整体去看, 同时一点一点地推导, 有些几何或分析上的问题, 我觉得可以慢慢将它连起来就觉得很高兴。

我讲这个事情是什么原因呢? 我觉得现在很多大学生和研究生对于宏观的数学看法并不热情。能够做完课本上的题目, 就觉得很满足。没有整体的去想数学, 无论几何或者代数, 我们需要知道研究的是什么事情? 追求的是什么对象? 去考虑这些事情其实并不会花你太多时间, 可是整体性的想法一定需要成熟的基本工夫才能形成。就算很琐碎的事情你都要有相当的认识, 才能对整个科学有一个基本的看法、一个大范围的看法。现在谈谈我个人的经验, 记得念中学的时候我学了平面几何。大家都晓得平面几何很漂亮, 我也觉得很有意思。书本上的平面几何问题大概我都懂得怎么做。可是我觉得还是不太够, 所以我将很多基本的问题连在一起, 之后开始慢慢想。去发现一些书本没有的问题, 去想书本的方法能够有什么用处, 是不是大部份平面几何上的问题都可以用这些方法去解决? 其中有一个问题我发觉没有办法去解决, 花了很多功夫去想, 参考了很多课外书, 最后很高兴找到一本书讲那个问题不可能用圆规和直尺来解决, 书上用代数的方法来解释这个命题。因为试过很多不同的想法,完全不晓得圆规和直尺有时解决不了平面几何上的问题, 因此看到人家将这个问题解释清楚, 就觉得很满意; 那时候是中学生, 没有了解Galois 理论, 所以还是搞不太清楚是怎样证明的, 可是至少晓得有些问题是不能用圆规和直尺去解决的; 也因为经过很长的思考, 所以对几何学清楚很多, 也开始欣赏到做数学的精义。我想我们做一个习题或研究, 最好花些功夫去想想整个问题的来龙去脉, 也多看一些参考书, 这样帮助很大。因为数学无非是很多方法放在一起来解决很多不同的问题。当我们了解到整个方法的局限,基本功夫也做得很好了。基本功夫没搞清楚的话, 没有条件去讲某人学问好, 某人学问不好。

从前在香港念大学的时候, 环境比现在差得多, 图书馆根本没有什么书, 也没有什么很好的导师, 但还是看了些课外书, 也看了不少文章。但现在回想起来浪费了很多精力,这是因为眼界太浅、坐井观天, 不知数学的发展方向的缘故。以后到了Berkeley, 也看了很多文章, 得益良多。一方面当地图书馆收藏丰富, 一方面良师益友的交往, 心中开始建立对数学的看法, 知道什么是好的数学, 什么是好的文章。中学的时候, 老师跟我们讲: 好的书要看, 不好的书也要看。因此不好的书我也看, 你可能觉得奇怪; 我觉得一定要辨别什么是好的书, 什么是不好的书。在看文章的时候, 一定要搞清楚有些作者写的文章是一般的, 有些作者的著作是了不起的, 从不好的文章里面, 你也可以看到许多现代的发展。因为有时候, 从简单的写法里面, 反而比较容易入手, 可是你一定要晓得它的命题并不见得是有意思的, 一定要经过自己大脑仔细去想。它里面的组织往往是有的, 普通水平的文章里面, 往往会引用有名的文章, 介绍里面的内容, 同时往往会写得比较容易一点。你看了以后, 要晓得怎样和好的文章比较。这是我自己的经验, 你不一定要这样子做。我的建议是大部份的时间看大数学家的作品, 小部份时间浏览一般作品, 并做比较。

我当研究生的时候, 有时候从早到晚都在图书馆看期刊、看书。当时Berkeley 没有研究室, 研究生没有研究室很好, 整天在图书馆里面坐。几乎主要期刊的文章我都看过, 这并不表示仔细的看, 但至少主要的定理都看过。当时大部份定理看不懂, 看不懂没有什么关系。往往要花很多功夫才能够在细节的部份搞清楚一篇好的文章。因此第一眼就看得懂的文章, 一般来说不见得太好。(并不是讲一定不好, 简单的文章有时也有创见。) 多看文章让你晓得当时的人对于某一个方向的问题重视, 对你帮助很大。

很多学生跑来问我问题, 我跟他讲某某年有谁做过、做到什么阶段, 他们听了很惊讶, 为什么我晓得? 其实谁都没有跟我讲, 大部份是我在文章上看的。做研究的时候, 需要晓得的是谁做过、在什么地方可以找到这方面的文献。有了这个帮助以后, 就可以跑去图书馆找这个文件。甚至你只要晓得那一个年代谁碰过这个问题, 也有很大的好处。你有追求的热情又培养好基本工夫以后, 应当将不同的看法融会贯通。到了这一步以后, 你可以开始找自己的题目。因为你开始晓得整个数学界在追求什么目标, 想解决什么问题。

一个数学家怎么找自己的问题是很重要的。当然有不同的找法, 有些人要发展一套理论, 有些人要解决难题。理论的目标最后

还是要解决问题的, 所以解决重要问题是发展一般理论中很重要的一环。举例来说, 像Poincar´e conjecture, 它是三维拓朴中最主要的猜想, 我们晓得前人花了很多心血去解决它, 到了现在有很多不同的尝试方法, 各自成一气候。这个命题已经变成一门学科而不再是一个孤立的问题。当这个猜想彻底解决后, 三维空间的结构了解才算圆满。另一方面有些人为什么只对Poincar´e Conjecture 有兴趣, 对其他问题兴趣不大, 那是因为它是公认的难题。我想选题方面每个人有不同的看法。我有很多朋友是很出名的数学家, 他们一辈子只想解决出名的问题, 我认为这种选题方法是错误的。在数学上, 我们应该有整个系统的想法, 想整个数学的目的在那里、应当解决什么问题。

你们或许念过王国维讲的做大学问的三个阶段, 第一个阶段是晏殊说的昨夜西风凋碧树,独上高楼, 望尽天涯路。要解释这一段话, 我要再说明基本功夫的重要性。如果基本功夫没有做好, 你根本望不远。你叫中学生去望尽天涯路, 根本是不可能的事, 最后只能讲一些空谈的话。对数学或者科学的历史不了解的话, 你根本没有资格去谈以后的事。

现在很多学生, 尤其是研究生, 我觉得很头痛, 叫他做一个小题目, 做了以后, 一辈子不愿意放。不停的写小文章, 写了文章当然可以发表, 对某些年轻人来讲, 他认为这样子很好, 不用想重要的问题。今天能够写一篇小文章, 明天能够写一篇小文章, 就可以升等。假如写不出来的话, 生活上会受到困扰。这都是对的, 可是真的要做一个好的题目, 其实也不见得那么难。一些研究生的论文是历史上有名的著作。为什么他们能够花三、四年的工夫, 做出这么出色的工作? 他们是从不懂到懂, 然后还要再向前进。这表示要做好的题目, 并不是像你想象要花很多很多的时间才能够做到, 问题是你的决心够不够。昨夜西风凋碧树, 就是说你要望很远的话, 要将前面小的树去掉, 才能看得远。假如我们眼界里面的都是小题目, 永远都看不远。我们要懂得怎么放弃些渣滓, 才能够做一些好的题目, 这是一个很重要的决定。你不愿意放弃你明明晓得不会有前途的问题, 就永远做不到好的问题。这是一个很困难的选择, 因为毕业和升等是很困扰的问题, 你不愿放弃没有前途的小问题, 那你永远不会成就大学问。

我记得我刚学几何时, 当时流行度量几何, 所有工具都是用三角比较定理得来的, 我始终觉得这对几何的刻划不够深刻。后来我和我的朋友和学生开始一系列用微分方程作为工具的几何研究, 得到不少结果。我很庆幸当时愿意放弃一些小的成果, 走一条自己的路。

我们选题的时候, 可以跟出名的数学家、跟导师讨论或者是从书本上得到启发, 可是最后的思考一定要有自己的想法才能成就大学问。假如没有自己的想法, 则始终跟着人家走、是没有办法做好学问的。所以要独上高楼, 去找自己认为重要的研究方向, 去开创自己的路线。

王国维在谈学问的第二阶段里引用了柳永的词:

衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴。寻找真理的热情就如年轻的恋人对自己对象的追慕, 那是很重要的事。在追求一个好的命题的时候, 中间要花很多功夫, 有时候甚至是很痛苦的。可是我们只要相信, 最后的成果是值得的, 我们就会花很多功夫去做, 就像爱情一样。很多年轻人找对象时, 朝思暮想,但做学问时却没有这种态度。假如做学问没有热情没有持久力的话, 就不可能做成大学问。屈原说「亦余心之所善兮, 虽九死其犹未悔」比柳永更来得澈底。接着下来大家都晓得王国维的第三阶段是众里寻他千百度,蓦然回首, 那人却在,灯火阑珊处。

这是辛弃疾的词, 基本上我们都有这种感觉。凡作过文章的人就有这种经验。我们花很多功夫做一个好的命题, 新思绪来临时, 每每彻夜难眠。有时候想得辛苦了, 就一睡睡很久。假如你做学问做到这个地步, 你会解决很多意想不到的问题。

我们做学问跟爱情不太一样, 有时候不一定看到原来既定的目标, 而是看到其它有趣的问题。就像我刚才讲的, 我们要解决Poincar´e conjecture, 最后还没解决它, 可是往往解决了其它命题, 这是数学史上常常有的。这是因为我们做这个题目的时候, 不晓得走法对不对; 可是你将这个工具全部搞好,基本的想法、有意思的想法都懂得以后, 就可以解决很多问题了。在路上走的时候, 思想不要太顽固。你要知道还有其它有意思的问题。发展了一套的想法以后, 往往恰好可以解决这些问题。

因此, 在整个做研究的过程里面, 眼睛要睁开。眼睛怎么睁开呢? 很多学生不愿意去听colloquium, 也不愿意去听其它人的seminar。不听seminar 就不晓得人家在做什么东西。明明你的方法可以解决他们在做的问题, 但你眼睛闭起来、看不到, 这是一个很大的困难。很多学生尤其是中国学生, 讲我的论文是做这个, 这个seminar 与我的论文无关, 我不愿意去听、不愿意去看、不愿意去跟人家来往、不愿意去跟人家交谈。结果本来你的论文明明可以做得比人家好, 你却让这个机会溜掉, 可能你的方法刚好可以解决人家的问题。因为你不愿意去听、去看, 你就错过了这个机会。

一个人的思维、能力有限, 不可能不靠人家的帮忙。什么是人家的帮忙呢? 一方面是看文章, 听seminar, 一方面就是请教名家。你自己去请教别人的时候, 百分之九十五的情形下, 别人不晓得你在做什么, 也不可能提供直接的意见。(假如能够直接提供意见,帮你直接解决问题的话, 你这个问题不见得是很重要的问题。) 但不要紧, 多请教别人总有好处, 至少晓得这个问题有多好, 还是不好。假如你怕发问, 就在seminar 或col-loquium 的时候多听, 就算听不懂讲者的话,也看他写的头几个字, 大致上会知道他在做什么题目。至于比较复杂的内容, 你可能觉得莫名其妙, 可是你还是可以发现得到不少好处。所以能够尽量去听不同的课, 对你是有很

大好处的; 念纯数学的也应当去听应用数学或物理方面的课。听seminar 时, 即使不懂也没有什么损失, 反正总比在家里无聊看电视好。怎样在孤立的地方, 也能够做好的学问?举个例子来讲, 十四年前, 复旦大学有一位学生, 他要来跟我, 我答应了。结果因为当时复旦大学的校长怕留学生全部走掉了, 所以不准他出国, 因此他没有办法来跟我。但是他将我在80 年代写的问题集, 在大概一百题中,选了一个题目去做, 拼命的在做。我不晓得他在做这一个题目, 虽然他在一个比较孤立的地方, 可是十多年坚持下来, 去年终于做出很重要的结果。我觉得很高兴, 因为这是一个很不简单的问题。可见找对了题目, 同时拼命的花功夫去作, 就算不跟人家来往, 也不见得做不出成绩来。当然我不知道他是不是完全不跟人家来往, 因为复旦大学里面也有一些很不错的数学家。交大、清华不能讲是孤立的地方。在这个条件下, 我觉得绝对是可以做好学问的地方。今天讲的是我念书的经验, 希望你能够参考。不见得每一个人都同意, 每一个数学家都有对学问不同的看法, 你可以追随不同的路线。可是最开始所讲基本功夫要做好这一点, 总是少不掉的。然后要尽量去开发自己的领域, 题目一定要做重要的。即使后来得到的是比较小的结果, 总比一开始只想做不重要的题目来得好。到了解决主要的问题以后, 你对整个学问的看法会有所不同。今天就讲到这里, 谢谢大家。

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